三角形中位线的三种证明方法

三角形中位线的三种证明方法

三角形中位线的证明是初中的一个重要定理，也是许多学生要突破的重难点。

三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。如下图所示，在三角形ABC中，DE是以BC为底的三角形中位线，则可得DE//BC，且DE=BC/2。

方法一：欲证DE=BC/2这种线段的倍半问题,往往可以将短的线段放大,转化为证明两线段相等,此题可将线段DE延长一倍至F,再连FC,把问题转化为证明四边形DFCB为平行四边形.

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEF、AE=CE、∠A=∠ACF

∴△ADE≌△CFE(S.A.S)

∴AD=CF(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CF

又∵BD∥CF

∴BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DF∥BC且DF=BC

∴DE=DF/2=BC/2

∴DE为三角形ABC的中位线.

方法二：相似法：八年级下册第四章已学习过相似图形,也可以利用相似三角形的知识来解决.

∵D是AB中点

∴AD：AB=1：2

∵E是AC中点

∴AE：AC=1:2

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC(S.A.S)

∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2

∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴BC=2DE,BC∥DE

方法三：用截长补短的方法构造全等三角形,再证出平行四边形,得出结论.

延长DE到点G，使EG=DE，连接CG

∵点E是AC中点

∴AE=CE

∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE

∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

∴AD=CG、∠G=∠ADE

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

∵点D在边AB上

∴DB∥CG

∴BCGD是平行四边形

∴DE=DG/2=BC/2

∴所以DE为三角形ABC的中位线